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查找最小元素的递归函数
查找最大元素的迭代函数
情况一:要删除的是叶结点:直接删除,并再修改其父结点指针
方法:如果是在其父节点的左边,就把父结点的left设置为NULL,如果是在其父结点的右边,就把父结点的right设置为NULL
情况二:要删除的结点只有一个孩子结点
方法:将其父结点的指针指向要删除结点的孩子结点
情况三:要删除的结点有左、右两棵子树
方法:用另一结点替代被删除结点:右子树的最小元素 或者 左子树的最大元素
取右子树中的最小元素替代
取左子树中的最大元素替代
思考题
1、已知一棵由1、2、3、4、5、6、7共7个结点组成的二叉搜索树(查找树),其结构如图所示,问:根结点是什么?
解析:右子树有2个数据大于根节点,左子树有4个数据大于根节点,故根节点为5
答案
2、在上题的搜索树中删除结点1,那么删除后该搜索树的后序遍历结果是:
答案:243765
3、若一搜索树(查找树)是一个有n个结点的完全二叉树,则该树的最大值一定在叶结点上?
解析:错误!
如果是满二叉树,就是对的。
如果只是完全二叉树,比如下面这种情况,最大值不在叶结点上
4、若一搜索树(查找树)是一个有n个结点的完全二叉树,则该树的最小值一定在叶结点上?
解析:正确!
如上图所示,最小值一定在最左边,而完全二叉树的最左边一定是叶节点。
BinTree Insert( BinTree BST, ElementType X ){ if( !BST ){ /* 若原树为空,生成并返回一个结点的二叉搜索树 */ BST = (BinTree)malloc(sizeof(struct TNode)); BST->Data = X; BST->Left = BST->Right = NULL; } else { /* 开始找要插入元素的位置 */ if( X < BST->Data ) BST->Left = Insert( BST->Left, X ); /*递归插入左子树*/ else if( X > BST->Data ) BST->Right = Insert( BST->Right, X ); /*递归插入右子树*/ /* else X已经存在,什么都不做 */ } return BST;}BinTree Delete( BinTree BST, ElementType X ) { Position Tmp; if( !BST ) printf("要删除的元素未找到"); else { if( X < BST->Data ) BST->Left = Delete( BST->Left, X ); /* 从左子树递归删除 */ else if( X > BST->Data ) BST->Right = Delete( BST->Right, X ); /* 从右子树递归删除 */ else { /* BST就是要删除的结点 */ /* 如果被删除结点有左右两个子结点 */ if( BST->Left && BST->Right ) { /* 从右子树中找最小的元素填充删除结点 */ Tmp = FindMin( BST->Right ); BST->Data = Tmp->Data; /* 从右子树中删除最小元素 */ BST->Right = Delete( BST->Right, BST->Data ); } else { /* 被删除结点有一个或无子结点 */ Tmp = BST; if( !BST->Left ) /* 只有右孩子或无子结点 */ BST = BST->Right; else /* 只有左孩子 */ BST = BST->Left; free( Tmp ); } } } return BST;}
思考题
1、画画看,至少需要多少个结点才能构造出一棵4层(h=3)的平衡二叉树?
解析:7个结点
2、将1、2、3、4、5、6顺序插入初始为空的AVL树中,当完成这6个元素的插入后,该AVL树共有多少层?
解析:3层
3、若一AVL树的结点数是21,则该树的高度至多是多少?注:只有一个根节点的树高度为0
解析:nh = nh-1 + nh-2
h | n |
---|---|
0 | 1 |
1 | 2 |
2 | 4 |
3 | 7 |
4 | 12 |
5 | 20 |
6 | 33 |
7 | 54 |
可知,21个结点也就只能构成最高5层的平衡搜索树。
typedef struct AVLNode *Position;typedef Position AVLTree; /* AVL树类型 */struct AVLNode{ ElementType Data; /* 结点数据 */ AVLTree Left; /* 指向左子树 */ AVLTree Right; /* 指向右子树 */ int Height; /* 树高 */};int Max ( int a, int b ){ return a > b ? a : b;}AVLTree SingleLeftRotation ( AVLTree A ){ /* 注意:A必须有一个左子结点B */ /* 将A与B做左单旋,更新A与B的高度,返回新的根结点B */ AVLTree B = A->Left; A->Left = B->Right; B->Right = A; A->Height = Max( GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right) ) + 1; B->Height = Max( GetHeight(B->Left), A->Height ) + 1; return B;}AVLTree DoubleLeftRightRotation ( AVLTree A ){ /* 注意:A必须有一个左子结点B,且B必须有一个右子结点C */ /* 将A、B与C做两次单旋,返回新的根结点C */ /* 将B与C做右单旋,C被返回 */ A->Left = SingleRightRotation(A->Left); /* 将A与C做左单旋,C被返回 */ return SingleLeftRotation(A);}/*************************************//* 对称的右单旋与右-左双旋请自己实现 *//*************************************/AVLTree Insert( AVLTree T, ElementType X ){ /* 将X插入AVL树T中,并且返回调整后的AVL树 */ if ( !T ) { /* 若插入空树,则新建包含一个结点的树 */ T = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode)); T->Data = X; T->Height = 0; T->Left = T->Right = NULL; } /* if (插入空树) 结束 */ else if ( X < T->Data ) { /* 插入T的左子树 */ T->Left = Insert( T->Left, X); /* 如果需要左旋 */ if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == 2 ) if ( X < T->Left->Data ) T = SingleLeftRotation(T); /* 左单旋 */ else T = DoubleLeftRightRotation(T); /* 左-右双旋 */ } /* else if (插入左子树) 结束 */ else if ( X > T->Data ) { /* 插入T的右子树 */ T->Right = Insert( T->Right, X ); /* 如果需要右旋 */ if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == -2 ) if ( X > T->Right->Data ) T = SingleRightRotation(T); /* 右单旋 */ else T = DoubleRightLeftRotation(T); /* 右-左双旋 */ } /* else if (插入右子树) 结束 */ /* else X == T->Data,无须插入 */ /* 别忘了更新树高 */ T->Height = Max( GetHeight(T->Left), GetHeight(T->Right) ) + 1; return T;}
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